[chat face=”hakase300.png” name=”博士” align=”left” border=”none” bg=”gray”]こんにちは、博士です。[/chat]
ちょっとファンキーな形の骨組みをみるとびびってしまいませんか?
大丈夫です。
必要なところだけちょんぎってしまえば難しくありません。
やってやりましょう!!
ピン接合201803
問題
図のような水平荷重Pを受ける骨組みにおいて、A点における曲げモーメントの大きさとして、正しいものは、次のうちどれか。
普段は、キーワードを抽出するのですが、今回はほとんどキーワードがありません。
そこでまず、何がわかると答えに行きつくのか、という点をお話しした上で、解き方を説明していきます。
前提
問題文では、A点におけるモーメント、MAの大きさが問われています。
図のように、A点の下をB点、反対側をC点、上部をD点とします。
反力
ここで、水平荷重Pに対して、反力が発生することは理解できていますか?
反力とは、荷重に対して、釣り合おうとする力のことです。
建物が安定して存在しているということは、荷重に対して反力が発生し、釣り合っている、ということになります。
カギとなる未知数
では、このMAを計算するためには、何が必要でしょうか?
答えは、水平反力HBです。水平反力HBさえわかれば、この問題は解けます。
理由は、2つ。
❶A点周りのモーメントがゼロ
安定した構造物はどこで切断しても、力のつり合いが成り立つため、A点を中心としたA点から下のモーメントの合計は、ゼロになるからです。
建物が安定しているということは、どの点で見ても、力のバランスがとれている状態です。
そのため、A点から下のモーメントの合計は、ΣMA=0と表すことができます。
MAの前にある記号は、シグマと読んでください。合計という意味です。
❷モーメントは距離かける力
モーメントは距離かける力で求まる、からです。
A点を中心とした、A点から下のモーメントの合計は、次のように表現できます。
ΣMA=0から、-MA+L×HB=0
時計回りのモーメントをプラス、反時計周りのモーメントをマイナスで表現しています。
問題文ではMAを求められているので、
MA=L×HB
とします。
A点からの距離はLと判明していますので、未知数はHBだけです。
よって、HBさえわかれば、この問題は解けます。
念のため触れておくと、垂直反力VBは、ΣMAに関係ありません。
理由は、VBがA点にまっすぐ作用するため、A点との距離がゼロになり、VBによるモーメントは発生しないからです。
では、水平反力HBを求めていきましょう。
力のつり合い
いくつか関係式を作って、HBを追い込んでいきます。
まず、安定した構造物ですので、力が釣り合っていることから、水平方向の力の合計がゼロになることを利用して、
ΣX=0からP-HB-HC=0
Xは水平方向という意味です。
右向きの力をプラス、左向きの力をマイナスとしています。
同様に垂直方向の力の合計がゼロになることを利用して、
ΣY=0からVB+VC=0
Yは垂直方向という意味です。
上向きの力をプラス、下向きの力をマイナスとしています。
ある点周りのモーメント
B点周りのモーメントの合計
また、B点周りのモーメントの合計もゼロになることを利用して、
ΣMB=0からMB+P×L-VC×2L=0
なお、B点は回転が可能なピン支点のため、MB=0です。
補足すると、B点周りのモーメントの合計ΣMBではなく、ここで言っているのはB点に生じるモーメントMBがゼロになるとういうことです。
よって、
VB+VC=0
0+P×L-VC×2L=0
から
VC=P/2, VB=-P/2、
と求まります。
D点周りのモーメントの合計
次に、D点周りのモーメントの合計ΣMDも0になることから、D点の左側を使って、
ΣMD左=0から、MD+VB×L+HB×3L/2ーP×L/2=0
となります。
D点は回転するピン接合ですので、MD=0です。
先ほどの、VB=-P/2を代入すると、
0-P/2×L+HB×3L/2-P×L/2=0
から
HB×3L/2=P/2×L+P×L/2
となり
HB=2P/3
と求まります。
やっとHBがわかりましたね。
ラスボス
冒頭の式に戻って、ΣMA=0より、MA-L×HB=0にHBを代入すると、
答えは、MA=2PL/3、となります。
お疲れ様でした。